Linear Algebra

1.벡터

Vector(=Velocity, 벡터 ) = magitude (규모, 속력) + direction (방향) R² : 2차원 실수좌표공간. 실수값을 가진 모든 2차원 튜플 (≒ R³은 3차원 실수좌표공간. R의 N승은 N차원 실수좌표공간. R² ≠ R³ ) 스칼라 : 크기만 있고 방향은 가지지 않는 값. 단위벡터(unit vector) : 길이가 1인 벡터 L = { νx+νy | t ∈ R } 모든 직선에 있는 점을 표현할 수 있다. 2차원에서는 y = mx + b와 같으나 n차원에서는 표현하기 힘들다. 하지만 vector로는 n차원까지 현 가능하다. 벡터 기울기(vb-va)에 다른 벡터를 +, - 하면 평행 백터 혹은 같은 직선에 있는 벡터 집합이 된다.

벡터가 2차원이 아닌 n차원일 때도 같다. (시각적 표현은 힘들다)

Quiz) v​의 크기는 8이고, 방향각은 320​∘​​ 입니다. vec w​​​의 크기는 6이고, 방향각은 100​∘​​ 입니다. vec v + vec ≈(5.09,?) ? 에 알맞는 값을 골라주세요. 단 8sin(320) =−5.14 , 8cos(320) = 6.13, 6sin(100) = 5.91, 6cos(100) = -1.04 >> x = cos , y = sin. (6.13-1.04 , -5.14+5.91) = (5.09, 0.77)

2. 선형결합과 생성 (Linear Combination)

Linear Combination : c1v1+c2v2+...+cnvn | c1, ... , cn ∈ R v1,v2,..., vn ∈ Rn - 벡터합과 스칼라곱 두 연산을 이용해 좌표평면상의 모든 직선 - 영벡터 또한 선형 결합. 영벡터 자신의 선형결합으로 얻을 수 있는 유일한 벡터는 영벡터 뿐이다.

Span : 벡터의 생성 벡터들의 선형 결합으로 나타낼 수 있는 공간 전체 span(a(vector), b(vector) ) = R^2 span(v1,v2,....,vn) = { c1v1+c2v2+...+cnvn | ci ∈ R for 1 ≤ i ≤ n }

선형 종속(Linear Dependent) 집합의 한 벡터를 집합의 다른 벡터의 선형결합으로 나타낼 수 있다. 두 벡터가 선형결합을 취하면 하나의 벡터로 됨 ⇔c1v1+c2v2+...+cnvn = 0 을 만족하는 해로 이때 Ci는 0이 아니어야한다.(=최소 한개는 0이 아닌 해가 있어야 한다)

만일 모든 해가 0이면 선형독립이다.

ex) (2,1) ,(3,2), (1,2) 세 벡터가 선형결합일 때, 2C1+3C2+C3 = 0 C1+2C2+2C3 = 0 if ... C3=-1 ... 2C1+3C2 -1 =0 , C1+2C3 - 2 =0 -C2 + 3 = 0. ∴ C1 = =4 , C2 = 3, C3 = -1

3.부분공간과 부분공간의 기저

부분공간(Subspace, S) i) 0벡터를 포함해야 한다. ii) 곱셈에 대해 닫혀있어야 한다. a x b ∈ S (a,b는 벡터) iii) 덧셈에 대해 닫혀있어야 한다. a + b ∈ S (a,b는 벡터)

닫혀있다 : 벡터x in V, V ∈ Rn, C ∈ R. cx in V ⇒스칼라 곱셈에 의해 닫혀 있다.

0 벡터가 포함되지 않은 부분공간이 있다고 가정, ii, iii가 자동으로 성립하지 않는다. ii ) 어떤 벡터든 상수 0을 곱하면 0벡터가 되기 때문이다. (충돌) iii ) a1, a2 벡터가 평행선의 벡터라고 했을때 a2 = a1 +c | c ∈ R 이때, 영벡터는 벡터a + x가 될 수 있다. ( x, c ∈ R) (충돌) i가 성립하지 않을때 ii, iii도 성립하지 않게 된다. 그러므로 한 벡터의 생성이 있을때, 영백터는 무조건 부분공간에 속하게 된다.

U = span ( v1, v2, v3 ) is value subspace of Rn ? i) 0v1 + 0v2 + 0v3 = 0vector ii) x = c1v1 + c2v2 + c3v3 ax = ac1v1 + ac2v2 + ac3v3 (a, ac1=c4, ac2=c5, ac3=c6 ∈ R) 즉, ax는 또 다른 선형결합 iii) 0 + x = x ∈ U

생성 : 부분공간이 벡터들로 만들 수 있는 모든 가능한 선형결합의 집합 c1v1+c2v2+...+cnvn ∈ R. 이 결합의 모든 집합이 생성이다 (이때, {v1, v2, ..., vn} 의 어느 벡터도 다른 벡터로 표현할 수 없다)

기저 (basis) S = {v1, v2, ..., vn} 어한 집합의 기저라는 것은 이 벡터들이 (i)부분공간을 생성하고 (ii)부분공간의 어떠한 벡터도 될 수 있으며 그 (iii)벡터들의 선형독립이라는 것

if T = {v1, v2, ... ,vn, vs}, span(T) = V 이때 vs= v1+ v2 라고 표현. vs는 선형독립이 아니게 되는 vector ⇒T는 선형종속. 이 경우에 T는 V의 기저가 아니다 즉 기저는 어떤 공간을 생성하는 최소한의 벡터집합이다. 하나의 벡터공간에 여러개의 기저가 존재한다.

T={(0,1) , (1.0)} 은 표준기저